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高中数学第2章数列2.3.1等比数列的概念教案苏教版必修5

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2.3.1 等比数列的概念 教学目标: 1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念. 2. 利用等比数列解决实际问题. 教学重点: 等比数列的概念. 教学难点: 理解等比数列“等比”的特点.可以通过与等差数列进行类比来突破难点. 教学方法: 启发式、讨论式. 教学过程: 一、问题情境 情境 1:某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为 2 个,那么每过 1 分钟,1 个细胞分裂 的个数依次为 情境 2:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半, 永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为 1 份,那么每日剩下的部分依次为 情境 3:某轿车的售价约为 36 万元,年折旧率约为﹪(就是说这辆车每年减少它的价 值的﹪),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为 问题:与等差数列相比,上面这些数列有什么特点? 二、学生活动 通过观察,发现: 1.上述数列的共同特征,从第 2 项起,每一项都与它的前一项的比等于同一个常数.而 等差数列的特征是,从第 2 项起,每一项都与它的前一项的差等于同一个常数. 1 2.根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来. 通过讨论,得到这些问题共同的特点是,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 三、建构教学 1. 归纳总结,形成等比数列的概念: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 2. 符号记法,若数列为等比数列,公比为,则. 问题 1:下列数列是否为等比数列,如果是,公比是多少? (1); (2); (3); (4). 问题 2:一个数列是等比数列,那么它的项和公比必须满足什么条件? 问题 3:当等比数列的公比为负数的时候,数列每一项有什么样的特征? (学生讨论回答) 答 问题 1 中(1)、(3)是等比数列,公比分别是 1 和;(2)不是;(4)当不等于的 时候是,等于 0 的时候不是. 问题 2 中等比数列的每一项都不能为 0,公比也不能等于 0. 问题 3 中项是呈正负交替出现,形成摇摆数列. 3. 等比中项的概念. 若成等比数列,那么叫和的等比中项,且. 注:同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数. 四、数学运用 1. 例题. 例 2 (1)在等比数列中,是否有? (2)如果数列中,对于任意的正整数,都有,那 么一定成等比数列吗? 引导学生利用课本 P36 例 3 的证明过程对等比数列进行讨论,只是要提醒学生等比数 列每一项均不为 0.所以(2)不一定成立,只有在每一项均不为 0 的时候才成立. 总结判定数列是否是等比数列的两个方法:定义法和等比中项法. 例 3 已知等比数列的首项为,公比为. (1) 新数列也是等比数列吗?如果是,公比是多少? (2) 依次取出数列所有的奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等 2 比数列吗?如果是,它的首项和公比是多少? (3) 数列是等比数列吗?如果是,它的首项和公比是多少? 引导学生讨论,按照等比数列的定义,利用判断.归纳总结一般性的结论:如果取出的项 下标成等差数列,按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列,公比是(为下标成 等差数列时的公差) 2. 练*. (1) 已知下列数列是等比数列,请在括号内填上适当的数: ①( ),3,27; ②3,( ),5; ③1,( ),( ),. (2) 直角三角形的三边成等比,为斜边,则. (3) 已知数列满足:,试用定义证明是等比数列. 五、要点归纳与方法小结 1. 了解等比数列的概念,形成与等差数列的一个对比; 2. 对于等比数列的每一项均不为 0 要进行讨论; 3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明,即. 六、课外作业 课本练* P51 第 1,2,3,6 题. 3



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