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2011年北京市顺义区初三数学一模试题及答案

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初三第一次统一练* 顺义区 2011 年初三第一次统一练*
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 选择题( 各题均有四个选项 其中只有一个是符合题意的 均有四个选 只有一个是符合题意 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1. ?

7.如图, △ ABC 内接于圆 O , ∠A = 50 , ∠ABC = 60 , BD 是
o o

A D E O B C

圆 O

的直径, BD 交 AC 于点 E ,连结 DC ,则 ∠BEC 等于 A. 50° B. 60° C. 70° D. 110°

1 的绝对值是 2
B. ?2

A. 2

1 C. 2
6

1 D. ? 2
5

8. 如图,矩形 ABCD 中, AB = 1 , AD = 2 , M 是 CD 的中点, 点 P 在矩形的边上 沿

2. 某区在一次扶贫助残活动中,共捐款 136 000 元.将 136 000 元用科学记数法表示为 A. 1.36 × 10 元
6

A → B → C → M 运动,则 △ APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表
示大致是下图中的 y 1 0 1 2 3 3.5 A. x 1 0 1 2 3 3.5 B. x y

B. 0.136 × 10 元

C. 13.6 × 10 元

D. 1.36 × 10 元
5

3.某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投 10 个)的情况,投进篮框的个数 分别为 6 , 10 , 5 , 3 , 4 , 8 , 4 ,这组数据的中位数和极差分别是 A.4, 7 B.5, 7 C.7, 5 D.3, 7 4. 下列图形中,是中心对称图形的是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰梯形 5.几何体的三视图如下图所示, D.菱形

D

M

C

y 1 0 主视图 那么这个几何体是 左视图 俯视图 1 2 C. 二、填空题(本题共 16 分, 每小题 4 分) 填空题( 9. 若分式 3 3.5 x 1 0

y

P A
x

B

1

2 3 3.5 D.

x?2 有意义,则 x 的取值范围是 2x ? 3
3 2

. . .

10.分解因式: ab + 2ab + ab =

11. 从下面的 4 张牌中,任意抽取两张.其点数和是奇数的概率是 A. 6. 如图, B 是函数 y = A、 的面积记为 S ,则 A. S = 2 C. 2 < S < 4 B. S = 4 D. S > 4 B. C. D.

2 的图象上关于原点对称的任意两点, BC∥ x 轴, AC∥ y 轴, △ABC x
12. 将除去零以外的自然数按以下规律排列,根据第一列的奇数行的数的规律,写出第一列第 9 行的数为 ,再结合第一行的偶数列的数的规律,判断 2011 所在的位置是第 行 第 1/8 列.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 解答题(本题共 19.已知:如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ∠B = 90° , AD = AB = 4 , BC = 7 ,点 E 在 BC 边上,将△CDE 沿 DE 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的点 C ' 处. (1)求 ∠C ' DE 的度数; A (2)求△ C ' DE 的面积.

D

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 解答题 本题共

C'
B E C

1 ?2 0 13.计算: 2 12 ? 4sin 60° ? (1 ? 3) + ( ) 2 2x ?1 5x + 1 14. 解不等式 ? ≥ 1 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 3 2
15. 已知 a 是一元二次方程 x + 3 x ? 2 = 0 的实数根,求代数
2

20. 已知:如图, AB 是⊙O 的直径, BC 切⊙O 于 B , 式

a ?3 5 ? ? ÷?a + 2 ? ? 的值. 2 3a ? 6a ? a?2?
16 已知: 如图, ABC 中, ABC = 45° CD ⊥ AB 于 D , △ ∠ ,

AC 交⊙O 于 P , D 为 BC 边的中点,连结 DP . (1) DP 是⊙O 的切线; 3 (2) 若 cos A = ,⊙O 的半径为 5, 求 DP 的长. 5

A

O

P

BE ⊥ AC 于 E , BE 与 CD 相交于点 F .求证: BF = AC ;
21. 学校为了学生的身体健康,每天开展体育活动一小 17. 列方程或方程组解应用题: 我区教委要求各学校师生开展“彩虹读书活动”. 某校九年级一班和九年级二班的学生向学 校图书馆借课外读物共 196 本,一班为每位学生借 3 本,二班为每位学生借 2 本,一班借的课 外读物数量比二班借的课外读物数量多 44 本,求九年级一班和二班各有学生多少人? 18. 已知:如图,在*面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y = ?2 x + 4 的图象分别与 x、y 轴交于 点 A、 B,点 P 在 x 轴上,若 S ?ABP = 6 ,求直线 PB 的函数解析式.

B

D

C

时,开设排球、篮球、羽毛球、体操课.学生可根据自己的爱好任选其中一项,老师根据学生 报名情况进行了统计,并绘制了右边尚未完成的扇形统计图和频数分布直方图,请你结合图中 的信息,解答下列问题: (1)该校学生报名总人数有多少人? (2)从表中可知选羽毛球的学生有多少人?选排球和篮球的人数分别占报名总人数的百分之 几? (3)将两个统计图补充完整.

羽毛球 25% 体操 40%

2/8

22. 如图,将正方形沿图中虚线(其 x < y )剪成① ② ③ ④ 四块图形,用这四块图形恰好 能拼成一个矩形(非正方形) . (1)画出拼成的矩形的简图; (2)求

25. 已知:如图,抛物线 y = ax ? 2ax + c( a ≠ 0) 与 y 轴交于点 C (0, 3) ,与 x 轴交于 A 、B 两
2

x

x 的值. y

② y y ③ x

① x x ④ y y

点,点 A 的坐标为 (?1, 0) . (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一个动点,求使与四边形 ACDB 面积相等的四边形 ACPB 的点 P 的坐标; (3)求 ?APD 的面积.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 8 分,第 24 题 7 分,第 25 题 7 分) 解答题( 23. 已知:关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? 3(m ? 1) x + 2m ? 3 = 0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根; (3)若 m 为整数,且方程的两个根均为正整数,求 m 的值.

24. 已知:如图,等边△ABC 中,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上,∠BAE=∠BDF,点 M 在线段 DF 上,∠ABE=∠DBM. (1)猜想:线段 AE、MD 之间有怎样的数量关系,并加以证明; (2)在(1)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连接 CP,若 AB=7,AE= 2 7 , 求 tan∠BCP 的值.

3/8

顺义区 2011 年九年级第一次统一练* 数学试题参考答案及评分参考
一、选择题
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 A

=

1 1 = 2 ------------------------4 分 3a (a + 3) 3a + 9a
2

∵ a 是方程 x + 3 x ? 2 = 0 的实数根, ∴ a + 3a = 2
2

二、填空题 9.

x≠

3 ; 2

10.

ab(b + 1) 2 ;

11.

1 ; 2

12. 81 ; 第 45 行第 15 列 .

∴ 原式=

1 1 1 = = 3(a + 3a ) 3 × 2 6
2

------------------------------5 分

三、解答题 13.解:原式= 2 × 2 3 ? 4 ×

3 ?1 + 4 2

----------------------------4 分

16. 证明: ∵ CD ⊥ AB ∴ ∠BDC = ∠CDA = 90° ∵ ∠ABC = 45° ∴ ∠DCB = ∠ABC = 45° ∴ DB = DC ∵ BE ⊥ AC

--------1 分

= 2 3 + 3 ---------------------------------------------5 分 14. 解:去分母,得 2(2 x ? 1) ? 3(5 x + 1) ≥ 6 去括号,得 4 x ? 2 ? 15 x ? 3 ≥ 6 -------------------------1 分 ----------------------------2 分

----------------------2 分

移项合并同类项,得 ?11x ≥ 11 ----------------------------3 分 系数化为 1,得 x ≤ ?1 --------------------------------4 分 所以,此不等式的解集为 x ≤ ?1 ,在数轴上表示如图所示

∴ ∠AEB = 90° ∴ ∠A + ∠ABE = 90° ∵ ∠CDA = 90° ∴ ∠A + ∠ACD = 90° ∴ ∠ABE = ∠ACD ----------------3 分 在 ?BDF 和 ?CDA 中

-----------------------------5 分

?∠BDC = ∠CDA ? ? DB = DC ?∠ABE = ∠ACD ?
∴ ?BDF ≌ ?CDA ------------------4 分 ∴ BF = AC --------------------------5 分

15. 解: 原式=

a ?3 5 ? ? (a + 2)(a ? 2) ------------2 分 ÷? ? 3a (a ? 2) ? a?2 a ? 2? ?

=

a ?3 a2 ? 9 ÷ 3a(a ? 2) a ? 2

17. 解:设九年级一班有 x 名学生,二班有 y 名学生. ----------------------1 分 根据题意列方程组,得

a ?3 a?2 = × --------------------3 分 3a (a ? 2) (a + 3)(a ? 3)

?3 x + 2 y = 196 --------------------------------3 分 ? ?3 x ? 2 y = 44

4/8

解此方程组,得

? x = 40 ? ? y = 38

在 Rt ?DFC 中,

CD = DF 2 + FC 2 = 42 + 32 = 5
∴ C'D = 5 ∵ AD = FD , ∠A = ∠DFC = 90° , C ' D = CD ∴ ?AC ' D ? ?FCD ∴ ∠ADC ' = ∠FDC , AC ' = FC = 3 ----------------------------------2 分 ∴ ∠ADF = ∠ADC '+ ∠C ' DF = ∠FDC + ∠C ' DF = ∠C ' DC = 90° ∵ ∠C ' DE = ∠CDE ∴ ∠C ' DE = 45° -----------------------------------------------------------3 分

答:九年级一班有 40 名学生,二班有 38 名学生. -----------------------5 分

18. 解:令 y = 0 ,得 x = 2 ∴ A 点坐标为(2 ,0) 令x =0, 得 y =4 ∴ B 点坐标为(0 ,4)---------------------------------1 分 ∵ S ?ABP = 6 ∴

(2) 设 EC = x , 则 BE = 7 ? x , C ' E = x ∵ AC ' = 3 ∴ BC ' = 1 在 Rt ?BEC ' 中

1 × AP × 4 = 6 2

即 AP = 3

∴ P 点的坐标分别为 P ( ?1, 0) 或 P2 (5, 0) -----------2 分 1 设直线 PB 的函数解析式为 y = kx + b

(7 ? x) 2 + 1 = x 2
∴ S ?C ' DE = S ?CDE

解方程,得 x =

25 7 1 1 25 50 1 = EC ? DF = × × 4 = = 7 ---------------5 分 2 2 7 7 7

??k + b = 0 ∴ ? ?b = 4 ?k = 4 ∴ ? ?b = 4



?5k + b = 0 ------------------4 分 ? ?b = 4

20.(1) 证明:连结 OP 和 BP ∵ AB 是 O 的直径, BC 切

4 ? ?k = ? 或 ? 5 ?b = 4 ?

4 ∴ 直线 PB 的函数解析式为 y = 4 x + 4 或 y = ? x + 4 5
------------------------------5 分 19. 解:(1) 过点 D 作 DF ⊥ BC 于 F . ∵ AD BC , ∠B = 90° , AD = AB , ∴ 四边形 ABFD 是正方形. ∴ DF = BF = AB = 4 , FC = 3 --------1 分 5/8

A O于B, ∴ ∠APB = 90° , AB ⊥ BC , ∴ ∠ABC = ∠ABP + ∠PBC = 90° ------1 分 O 在 Rt ?BPC 中, D 为 BC 边的中点 ∴ BD = PD ∴ ∠BPD = ∠PBD B ∵ OB = OP ∴ ∠OPB = ∠OBP --------------------------------2 分 ∴ ∠OPD = ∠OPB + ∠BPD = ∠OBP + ∠PBD = ∠ABC = 90° 即 PD ⊥ OP ∴ DP 是 O 的切线 -----------------------------3 分

P

D

C

(2) 连结 OD 在 Rt ?ABC 中

A

O

P

B

D

C

3 , O 的半径为 5 5 AB 50 ∴ AC = = cos A 3 ∵ OA = OB , DC = DB 1 25 ∴ OD = AC = 2 3 在 Rt ?OPD 中
∵ cos A =

(2)面积可得

( x + y ) 2 = ( x + 2 y ) y ----------------------3 分

x 2 + 2 xy + y 2 = xy + 2 y 2 x 2 + xy ? y 2 = 0 x x ( )2 + ? 1 = 0 y y
----------------------------------------4 分

PD = OD 2 ? OP 2 = (

25 2 20 2 ) ? 52 = = 6 --------5 分 3 3 3
160 160 .-----1 分 = = 400 (人) 40% 0.4

x ? 5 ?1 = (舍去) y 2
2

x 5 ?1 = ------------5 分 y 2
2 2

21. 解: (1)由两个统计图可知该校报名总人数是

. (2)选羽毛球的人数是 400 × 25% = 100 (人) --------------------------------------2 分 因为选排球的人数是 100 人,所以

23. (1)解: ? = b ? 4ac = [ ?3( m ? 1) ] ? 4m(2m ? 3) = ( m ? 3) -------1 分 ∵方程有两个不相等的实数根, ∴ ( m ? 3) 2 > 0 且 m ≠ 0 ------------------------------------------------2 分 ∴ m ≠ 3且 m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m ≠ 3 且 m ≠ 0 ------------------------------------3 分 (2)证明:由求根公式

100 = 25% , 400 40 因为选篮球的人数是 40 人,所以 = 10% , 400
(3)如图(每补充完整一个图得 1 分,共 2 分) .

即选排球、篮球的人数占报名的总人数分别是 25%和 10%.---------------------------3 分

?b ± b 2 ? 4ac 3(m ? 1) ± (m ? 3) x= = -----------------------4 分 2a 2m
3m ? 3 + m ? 3 2m ? 3 3 = = 2? 2m m m 3m ? 3 ? m + 3 x2 = =1 2m ∴无论 m 为何值,方程总有一个固定的根是 1 (3)∵ m 为整数,且方程的两个根均为正整数 3 ∴ x1 = 2 ? 必为整数 m ∴ m = ±1 或 m = ±3
∴ x1 =

----------------5 分

22. (1)如图

① ③ ②



当 m = 1 时 , x1 = ?1 ;当 m = ?1 时, x1 = 5 ; 当 m = 3 时, x1 = 1 ; 当 m = ?3 时, x1 = 3 .

-----------------------------2 分 6/8

∴ m = ?1 或 m = ±3 --------------------------------------------8 分 24. (1)猜想: AE = 2 MD ------------------------------------------1 分

∴?

? a + 2a + c = 0 ?c = 3

解得 ?

? a = ?1 ?c = 3

证明:∵ △ABC 是等边三角形,点 D 为 BC 边的中点, ∴ AB = BC = 2 BD ∵ ∠BAE=∠BDF , ∠ABE=∠DBM ∴ ?ABE ∽ ?DBM ----------------------2 分 ∴

2 ∴ 抛物线的解析式为 y = ? x + 2 x + 3 ----------------1 分 2 2 2 ∵ y = ?( x ? 2 x ) + 3 = ?( x ? 2 x + 1 ? 1) + 3 = ?( x ? 1) + 4

AE AB = =2 DM DB

即 AE = 2 MD -------------3 分

∴顶点 D 的坐标为( 1 ,4) -----------------2 分 (2)连结 BC ,过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E . 令 y = 0 则 ? x + 2x + 3 = 0
2

(2)解:如图, 连接 EP 由(1) ?ABE ∽ ?DBM

BE AB = =2 BM DB ∴ BE = 2 BM ∵ MP = BM ∴ BP = 2 BM ∴ BE = BP ∵ ∠EBP = ∠ABE + ∠ABP = ∠PBC + ∠ABP = ∠ABC = 60° ∴ ?EBP 为等边三角形 ----------------------4 分 ∴ EM ⊥ BP ∴ ∠BMD = 90° ∴ ∠AEB = 90° -----------------------5 分
∴ 在 Rt△AEB 中,AB=7,AE= 2 7 ∴ BE = AB - AE ∴ tan ∠BAE = ∵ ∴ ∴ ∴
2 2

∴ x1 = ?1 , x2 = 3 ∴ 点 B 的坐标为(3 ,0) ∴ S四边形ACDB = S ?AOC + S梯形OEDC + S ?EBD

1 1 1 = × 1× 3 + × (3 + 4) × 1 + × 2 × 4 = 9 --------3 分 2 2 2
∵ S ?ABC =

1 × 4×3 = 6 2

= 21

∴ S ?BCD = 3 ∵点 P 是在第一象限内抛物线上的一个动点,

3 -------------------6 分 2 AB = CB , BE = BP ,∠ABE=∠DBM ?ABE ? ?CBP ∠BCP = ∠BAE 3 tan ∠BCP = tan ∠BAE = ---------7 分 2

S四边形ACDB = S四边形ACPB
∴ S ?BCP = S ?BCD = 3 ∴ 点 P 是过 D 且与直线 BC *行的直线和抛物线的交点 而直线 BC 的函数解析式为 y = ? x + 3 --------------------4 分 ∴设直线 DP 的函数解析式为 y = ? x + b , 过点 D(1,4) ∴ ?1 + b = 4 , b=5

25.解: (1)∵抛物线 y = ax 2 ? 2ax + c( a ≠ 0) 与 y 轴交于点 C (0, 3) ,与 x 轴 交于 A (?1, 0)

∴直线 DP 的函数解析式为 y = ? x + 5 ----------------------5 分 7/8

把 y = ? x + 5 代入 y = ? x + 2 x + 3 中,解得 x1 = 1 , x2 = 2
2

∴点 P 的坐标为(2,3) ---------------------------------6 分 (3)∵点 P 与点 C 关于 DE 对称,点 B 与点 A 关于 DE 对称 ∴ ?APD ? ?BCD ∴ S ?APD = S ?BCD = 3 .---------------7 分

8/8




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