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空间中的垂直问题练*题(答案)

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仅供个人参考 空间线线、线面、面面垂直关系练*题 一、填空题 1.给出下列三个命题: ①“直线 a 、 b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线 a 、 b 不相交” ; b b ②“直线 a 垂直于直线 ”的充分非必要条件是“直线 a 垂直直线 在*面 ? 内的射影” ; ③“直线 a 垂直*面 ? ” 的必要非充分条件是“直线 a 垂直于*面 ? 内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 ③ 2.如图,正方形 ABCD,P 是正方形*面外的一点,且 PA⊥*面 ABCD 则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC 及△PBD 中,为直角三角 形有______5___个. 3.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC B M? P C 上的一动点,当点 M 满足 时,*面 MBD⊥ *面 PCD. 4.已知三棱锥 S ? ABC 的底面是正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂心,且 SA 的长为定值,则下列关于此三棱锥的命题:①点 B 在侧面 SAC 上的射影是 ?SAC 的垂心;②三棱锥 S ? ABC 是一个正三棱锥;③三棱锥 S ? ABC 的体积有最大值;④三棱锥 S ? ABC 的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ . 5.如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论: (1)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都相交; (2)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都垂直; (3)过 P 一定可作*面 ? 与 a , b 都*行; (4)过 P 一 定可作直线 L 与 a , b 都*行,其中正确的结论有___(2)______. 6.给出下列命题:①分别和两条异面直线 AB.CD 同时相交的两条直线 AC.BD 一定是异面直线②同 时与两条异面直线垂直的两直线不一定*行③斜线 b 在面α 内的射影为 c,直线 a⊥c,则 a⊥b④有三 个角为直角的四边形是矩形,其中真命题是 ① . 7.点 P 在直径为 2 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这三 条弦长之和为最大值是 12 . 三 棱 锥 P ? ABC 中 , ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 90? , 点 M 在 △ ABC 内 , 且 ?MPA ? ?MPB ? 60? ,则 ?MPC 的度数是___ 45 ? ______. 13. 如 图 , AD 与 BC 是 四 面 体 ABCD 中 互 相 垂 直 的 棱 , BC ? 2 , 若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最 2 c a2 ? c2 ?1 3 14.如图,已知*面 ? ? *面 ? , A 、 B 是*面 ? 与*面 ? 的交线上的 CB ? ? ,AD ? 4 ,BC ? 8 , 两个定点, 且 DA ? ? , DA ? ? , CB ? ? , AB ? 6 ,在*面 ? 上有一个动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 ?PAB 大值是 。 【答案】 α A D P B C β 的面积的最大值是 12 . 二、解答题 15 . 如 图 , 正 方 形 ABCD 所 在 的 * 面 与 三 角 形 CDE 所 在 的 * 面 交 于 CD , AE ? * 面 C D E , 且 B . A B? 2 A E (1)求证: AB // *面 CDE ; (2)求证:*面 ABCD ? *面 ADE ; A 证明: (1)正方形 ABCD 中, AB // CD ,又 AB ? *面 CDE, CD ? *面 CDE, 所以 AB // *面 CDE. (2)因为 AE ? *面CDE ,且 CD ? *面CDE , C CD ? AD, E 所以 AE ? CD , 又 正方形ABCD中, 且 AE AD ? A AE、AD ? *面ADE , 所以 CD ? *面ADE , 又 CD ? *面ABCD , 所以 *面ABCD ? *面ADE . 16.如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥*面 ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M 是 EA 的中点. 求证: (1)*面 BDM⊥*面 ECA(2)*面 DEA⊥*面 ECA 17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,*面 PAD ? *面 ABCD , AB ∥ DC , D 8.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB//*面 ? ,则正四面体上 的 所 有 点 在* 面 ? 内 的 射影 构 成 图 形面 积 的 取值范 围 是 2 70 5 . [ 9. 直二面角 α- l -β 的棱 l 上有一点 A, 在*面 α、 β 内各有一条射线 AB, AC 与 l 成 450, AB ? ? , AC ? ? , 则∠BAC= . ( 60 或 120 ,两种情形) 10.四棱锥 D ? ABCE 的底面是矩形,DE ? 面 ABCE ,DE ? 3, EC ? 1, BC ? 2.G 为 DA 的中点,Q 为 DC 上一点,且 EQ ? 面 GBC ,则 2 1 , ] 4 2 . 3 DQ = 2 QC . △PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:*面 MBD ? *面 PAD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. (1) 证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 ,所以 AD2 ? BD2 ? AB 2 .故 AD ? BD . 又*面 PAD ? *面 ABCD ,*面 PAD *面 ABCD ? AD , BD ? *面 ABCD ,所以



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