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矩阵A^TA(A'A)和AA^T(AA')的性质

发布时间:








quad


对于任意一个矩阵




A






R



m


×


n





Ain R^{m imes n}


A∈Rm×n,其转置与它自身的乘积





A


T



A



A^TA


ATA,以及它自身与其转置的乘积




A



A


T




AA^T


AAT有如下性质:


1.




r


a


n


k


(



A


T



A


)


=


r


a


n


k


(


A


)


=


r


a


n


k


(



A


T



)


=


r


a


n


k


(


A



A


T



)



rank(A^TA)=rank(A)=rank(A^T)=rank(AA^T)


rank(ATA)=rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)







quad


证明:首先,显然有




r


a


n


k


(



A


T



A


)





r


a


n


k


(


A


)



rank(A^TA)leq rank(A)


rank(ATA)≤rank(A);







quad


再由:





A


T



A


x


=


0


?



x


T




A


T



A


x


=


0


?


A


x


=


0



A^TAx=0Rightarrow x^TA^TAx=0Rightarrow Ax=0


ATAx=0?xTATAx=0?Ax=0可知,





A


T



A



A^TA


ATA的右零空间一定包含于




A



A


A的右零空间. 即:




N


(



A


T



A


)


?


N


(


A


)


,



N(A^TA)subset N(A),


N(ATA)?N(A),






quad


于是必然有:




d


i


m


[


N


(



A


T



A


)


]





d


i


m


[


N


(


A


)


]


,



dim[N(A^TA)]leq dim[N(A)],


dim[N(ATA)]≤dim[N(A)],即:




n


?


r


a


n


k


(



A


T



A


)





n


?


r


a


n


k


(


A


)



n-rank(A^TA)leq n-rank(A)


n?rank(ATA)≤n?rank(A),即得:




r


a


n


k


(



A


T



A


)





r


a


n


k


(


A


)



rank(A^TA)geq rank(A)


rank(ATA)≥rank(A).







quad


综上有




r


a


n


k


(



A


T



A


)


=


r


a


n


k


(


A


)



rank(A^TA)=rank(A)


rank(ATA)=rank(A).在这式子中用





A


T




A^T


AT代替




A



A


A就得到:




r


a


n


k


(


A



A


T



)


=


r


a


n


k


(



A


T



)



rank(AA^T)=rank(A^T)


rank(AAT)=rank(AT).结合




r


a


n


k


(


A


)


=


r


a


n


k


(



A


T



)



rank(A)=rank(A^T)


rank(A)=rank(AT)证毕.


2.





A


T



A



A^TA


ATA和




A



A


T




AA^T


AAT均对称半正定.







quad


证明:





A


T



A



A^TA


ATA显然对称,同时有:




?


x






R


n



,



x


T




A


T



A


x


=


(


A


x



)


T



(


A


x


)





0



forall xin R^n,x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)geq0


?x∈Rn,xTATAx=(Ax)T(Ax)≥0.同理可证




A



A


T




AA^T


AAT对称半正定.


3.设rank(A)=r,那么




A



A


T




AA^T


AAT合同于






[







I


r







O








O






O






]




m


×


m





egin{bmatrix}I_r&O\O& Oend{bmatrix}_{m imes m}


[Ir?O?OO?]m×m?,





A


T



A



A^TA


ATA合同于






[







I


r







O








O






O






]




n


×


n





egin{bmatrix}I_r&O\O& Oend{bmatrix}_{n imes n}


[Ir?O?OO?]n×n?.







quad


证明:由合同变换不改变秩,及上诉性质2可以得到.


4.





A


T



A



A^TA


ATA和




A



A


T




AA^T


AAT具有相同的非零特征值.







quad


证明:参考我的另一篇博客:矩阵AB和BA的特征值关系


5.





A


T



A



A^TA


ATA与





A


T




A^T


AT具有相同的列空间,




A



A


T




AA^T


AAT与




A



A


A具有相同的列空间。







quad


证明:显然





A


T



A



A^TA


ATA列空间




?



subset


?





A


T




A^T


AT列空间,但又有:




r


a


n


k


(



A


T



A


)


=


r


a


n


k


(


A


)



rank(A^TA)=rank(A)


rank(ATA)=rank(A),可知它们的列空间维数相同,因此它们的列空间必然相同;同理可证




A



A


T




AA^T


AAT与




A



A


A具有相同的列空间。



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